L'Algèbre en Mailles


Du tout au Rien, et vice-versa

En algèbre, on utilise des nombres. Les nombres se distinguent par leurs utiLisations. Les mathématiciens, au cours des siècles, ont fondé des ensembles de nombres, de plus en plus subtils. Pour dénicher les huit grands ensembles algébriques, nous devons trouver l'emboîtement des mailles ; mais aussi montrer que chaque ensemble regroupe deux sous-ensembles énantiomorphes : les complétants. Ceci posé, nous obtenons alors les huit grands ensembles algébriques, inclus les uns dans les autres par ordre de complexité.

L'un des complétants présente la propriété inverse de l'autre complétant. Il ne reste plus qu'à souligner le rapport commun entre chacun des ensembles et leurs mailles respectifs.
Dans une précédente mouture, je n'avais pas pris en compte la nécessité d'emboitement des mailles et donc aussi de leur ensemble algébrique. Et de la nécessité que les complétants différent non seulement, par leurs propriétés énantiomorphes, mais aussi par l'écriture de leur nombre !

Soit =1), ce premier ensemble ossature toute l'algèbre. Les nombres communs, en dehors du zéro, nous permettent non seulement de compter (cardinaux), mais aussi d'énumérer (ordinaux). Ces nombres forment l'ensemble des entiers naturels noté : N.
Le nombre zéro sabre en deux complétants énantiomorphes, l'ensemble des nombres. Le demi-anneau N devient alors un de ces deux complétants sous la forme du sous-ensemble Z+ ; tandis que l'autre est appelé Z-. Z+ est le complétant en nombre relatif positif ; tandis que Z- est le complétant inverse, celui des nombres relatifs qui ne sont pas positifs, donc négatifs. Ces deux énantiomorphes, N et Z- construisent alors l'anneau des nombres relatifs Z.
Cet ensemble Z correspond bien à la première maille. En effet, elle résulte bien des forces de localisation du milieu, qui donnent les capteurs, dans les mutations en interne et l'environnement en externe. Ici, l'environnement est posé soit par des énumérations : les N, soit par des extractions : les Z-.

Par la suite =2), dans les nombres finis, nous y distinguons en plus deux autres énantiomorphes, pour la caractéristique de ce deuxième ensemble. Soit Z dont l'écrit en nombre est fini (ex : -3) ; de D, le complétant en nombre à décimale finie (ex : -3,28).
Pour cette deuxième maille, réunion de Z et de D, en référence à la propriété de finitude dans l'écriture des nombres, elle est bien régie par les forces de localisation de l'action, qui produisent les adaptateurs, dans les mutations en interne et la trame en externe. Ici, la trame entre soit par des accumulations unitaires, avec des nombres entiers : les Z ; soit par des accumulations d'échelon en nombre à décimale finie : les D. La force de localisation passe de l'addition (négative ou positive) à l'addition d'échelon.
Ces deux premières mailles, {{N et Z-}1 et D}2, forment bien l'AVOIR, le capital algébrique, par leurs composantes opératoires (accumulation).

Subséquemment dans =3), les nombres rationnels, nous y distinguons aussi, le complétant, en nombre fini : D (ex : -4,128), de son énantiomorphe : Q à développante décimale récurrente à l'infini (ex : 1/3=0,333…3…). Ainsi, on va d'abord distinguer, les nombres finis par rapport aux nombres infinis en écriture ; tout cela, dans R.
Ce corps, réunion de D et de Q correspond bien à la troisième maille. En effet, elle est bien régie par les forces potentielles en émission, qui donnent les promoteurs, dans les mutations en interne et les déclencheurs en externe. Ici, la force potentielle en émission lie l'exigence de développante finie : F, à l'exigence de développante infinie : Q.

Tandis que dans =4), les nombres à développante décimale infinie, nous y distinguons aussi, deux énantiomorphes. Par rapport à Q, le complétant en nombre à développante décimale récurrente ; nous avons I, le complétant en nombre à développante décimale variable à l'infini dit irrationnel (ex : -√2=-1,41421356…).
Cet ensemble, réunion de Q et de I correspond bien à la quatrième maille (notée, en tant que corps total : R). En effet, elle est bien régie par les forces potentielles en action, qui produisent les préparateurs, dans les mutations en interne et le carcan en externe. Ici, l'action en force potentielle opte soit pour le carcan des nombres finis : Q ; soit pour le carcan des nombres à développante infinie : I.
Ces deux mailles : {{D et Q}3 et I}4 forment bien l'ÊTRE, l'offre algébrique, par leurs composantes décimales issues d'un calcul opératoire précis.

Ensuite dans =5), nous retrouvons, en tant qu'un des deux complétants : R (=Q+I), par rapport à son opposé en nombre imaginaire : les non-R, sous la forme a+bi avec i2=-1. Le tout, c'est l'ensemble des nombres complexes, noté C. Par rapport au groupe des Réels : R dans C, son complétant : non-R perd une propriété de groupe, la comparaison. En effet pour deux nombres de la forme a+bi, avec b différent de zéro, on ne peut savoir lequel est plus grand ou plus petit que l'autre.
Cet ensemble, réunion des Réels et des Imaginaires, correspond bien à la cinquième maille. En effet, elle apporte bien les moyens de transformation, qui donnent les serviteurs, dans les mutations en interne et les ressources en externe. Ici, les ressources de transformation sont au service soit de la réalité, avec les nombres Réels ; soit des possibles, avec les nombres imaginaires.

Pour le sixième ensemble =6), on utilise la méthode de Cayley-Dickson, pour construire l'ensemble des hypercomplexes. Il en résulte à chaque étape, depuis C, la perte d'une propriété essentielle de Groupe. Dans ce cadre, on distingue alors deux complétants ; soit C, précédemment décrit ; soit des hypercomplexes non diviseurs de zéro, les H. Ce sous-ensemble des quaternions : H, où i2=j2=k2=ijk=-1, perd alors, la commutativité. Son créateur HAMILTON William Rowan, découvre que sous la forme : a+bi+cj+dk, ij (=k) est différent de ji (=-k) !
Cet ensemble, réunion de C et de H correspond bien à la sixième maille. En effet, elle est bien élaborée par les opérations de transformation, que produisent les praticiens en interne et les procédés en externe. Ici, la force opératoire de transformation est traitée soit par des praticiens gardiens de la commutativité : C ; soit par des praticiens démunis de la commutativité : H.
Ces deux mailles : {{(Q+I) et C}5 et H}6 DONNENT bien l'évolution algébrique, par leurs propriétés opératoires de groupes (perte ou conservation).

À partir de =7), pour cette maille, c'est la présence ou pas de l'associativité qui détermine chaque énantiomorphe.
Le complétant qui garde l'associativité est alors H. Aussi le complétant de H est alors l'énantiomorphe en octonions ou octaves, noté : O. Dans ce sous-ensemble O, où, à i, j, et k, on rajoute l, li, lj et lk, qui font perdre l'associativité de groupe.
Cet ensemble, réunion de H et de O correspond bien à la septième maille. En effet, elle enchaîne bien les potentiels de maintenance, qui donnent les contrôleurs pour les maintenances internes et les objectifs en externe. Ici, la force en potentiel de maintenance soit règle l'associativité : C ; soit contrôle la perte de l'associativité : H.

Cependant, =8), la méthode de Cayley-Dickson trouve ses limites dans cette huitième maille. Ainsi, pour l'énantiomorphe de O, tout ce qui caractérise les nombres (autres que 0) est perdu ; c'est-à-dire que si xy=0, il n'entraine plus que x=0 ou y=0. Ce dernier complétant est celui des sédénions, notés : S. Les sédénions ont des diviseurs de zéro, mais les distances sont non-mesurables, car il n'y a pas d'identité, donc pas d'alternativité ; d'où x(xy)≠(xy)x. Est-ce que S est formé d'un couple d'énantiomorphe : soit des sédénions coniques par rapport aux sédénions de Cayley-Dickson ? Je ne le pense pas, ils doivent être deux écritures différentes d'une même réalité numérique.
Cet ensemble, réunion de O et de S correspond bien à la huitième maille. En effet, elle résulte bien de l'aboutissement des maintenances, qui produisent les gestionnaires pour la maintenance en interne et les bénéfices en externe. Ici, la force de l'aboutissant de la maintenance, est dirigée soit par la gestion des distances : O ; soit par la garde des normes non mesurables (pertes des distances) : S. Car : O, ce sont les nombres hypercomplexes non diviseurs de zéro ; tandis que S, ce sont les nombres hypercomplexes diviseurs de zéro.
Ces deux mailles : {{H et O}7 et S}8 FIXENT bien les possibilités, les gains algébriques, par la capacité à mesurer ou pas une distance.


En conclusion

Pour assurer l'emboîtement de chacune des mailles du treillis des nombres, la huitième maille avec son complétant terminal S doit être dans la continuité de la première maille Z. Cette propriété commune ne peut reposer que sur sous le nombre : 0. Le zéro, c'est donc l'ensemble vide en nombre, noté : Ø ; c'est-à-dire le Néant dans S par l'absence de distance, le Vide dans Z par l'absence de numération. Il est intéressant de lier cette propriété d'absence ou de présence du Néant, avec la notion de Néant que je développe dans la page : "8 UNIVERS".
Le treillis des ensembles de nombres se présenterait donc ainsi :
{{{{{{{{N et Z-}1 et D}2, et Q}3 et I}4 ; et C}5 et H}6, et O}7 et S}8.
    Dans une précédente mouture, je considérais que l'ensemble N se composait en un couple de complétant ; celui des nombres premiers, sous-ensemble noté P, et le complétant inverse : les nombres composés, sous-ensemble noté non-P. Car, les nombres premiers ne sont pas des multiples d'entier naturel, à l'inverse des nombres composés. Cependant, les nombres P et non-P de N gardent la même écriture, à l'instar de nombreux autres énantiomorphes pour N, tels que les nombres magiques ou pas, ou les nombres triangulaires ou pas, ou etc… Pour chaque maille numéraire, nous arrivons donc, à débusquer une propriété due à un couple énantiomorphe de complétant ; ces derniers ayant toujours une écriture différente des nombres (ex N et Z-) ; et l'un des deux complétants étant la maille précédente, d'où leur enchaînement.

Entre autres Joseph LIOUVILLE distingue dans les I de la quatrième maille, ceux qui sont solutions d'une équation algébrique (de type ax2+bx +c=0), de ceux qui ne résultent pas d'une équation tel π, dits transcendants. Mais les irrationnels transcendants ou pas, ne sont pas distinguables en écriture, les deux sont des décimales variables à l'infini ; c'est pourquoi je ne les distingue pas et je pense que ce n'est qu'une question de temps pour que les quelques transcendants résultent d'une équation surement à imaginaires, ceci en relation avec une transformation d'espace euclidien à un des espaces courbes.
Une petite remarque : à partir des nombres complexes de la cinquième maille, ne peut-on pas considérer, que la composante réelle (a.1) recoupe le centre d'équilibre d'un objet ? Son multiplicateur (a) traduirait alors l'échelle à appliquer sur la distance de Planck pour déterminer la frontière quantique ; ceci en fonction de l'énergie cinétique totale de l'objet.
    Actuellement, votre serviteur n'a pas la capacité mathématique de déterminer la triade fondatrice de ce Fleuve, soit les trois couples d'antagonistes architectes. Cependant, une des pistes possibles, pour cette triade d'architectes, serait ; pour Z : le réel ou l'irréel ; pour Y : la finitude de (Z), ou son infini ; pour X : le simple ou le composé de (Y). En attendant donc, une meilleure perception, poursuivons cette quête avec les : "Rosaces d'Apollonius, un outil mathématique important pour l'étude des treillis d'ordre huit.

De Circum HUTI, le 22/12/2010, mdf le 2011-01-11.