Les Empilements réguliers.

Suivant leurs dispositions, les empilements (pavements et cristallisations), sont catalogués en classe de symétrie par nos mathématiciens. Ces derniers sont soumis à la nécessité d'établir une suite logique. Cette approche les conduit à ne considérer que les 7 frises par découpage, ou pour les 17 opérations de pavage, à inclure les retournements : face - dos, afin de concorder avec la nomenclature cristalline.

À nous, maintenant, de débucher, en toutes dimensions, le fleuve aux 8 mailles d'empilements. Tout en évitant de déchoir sur les accidents de terrain ; dont le plus sournois serait d'ajouter d'emblée, les pavements semi réguliers aux 7 frises régulières.

Donc avant d'aborder les opérations de symétrie, revenons aux bases (et à leurs empilements).
Tout pavage est l'empilement d'une même boîte, ou de plusieurs (2 à 3). Cette boîte enveloppe (ou, est enveloppée par) une figure. La boîte sera caractérisée par la dimension (spatiale) opératoire.
-) Dans le cadre d'un empilement ponctuel : la boîte comme l'empilement sont de dimension minimale, soit =0 ; donc de l'ordre de Planck. En conséquence, cette brique se nomme QUANTUM.
-) Lorsque c'est un empilement linéaire : la boîte peut être un Quantum ; ou sinon une portion de courbe dite CORDE, de dimension 1. Mais le plus souvent, au sein de notre espace courant, ce sera soit une CASE, de dimension 2 ; voir un CONTENEUR, de dimension 3.
-) Pour un empilement plan : nous nous retrouvons, plus spécifiquement, avec nos Cases, voir nos Conteneurs.
-) Dans le cadre d'un empilement volumique : on s'oriente vers les tas ou les cristaux. Ce sont des empilements invariants de Conteneurs.
-) Reste l'empilement dans l'hyperespace : en dimension 4 ; pour ce milieu exotique, je vous renvoie sur la page des 8 UNIVERS !

En résumé ; la boîte et son contenu forment un domaine invariant, mais sous contrainte d'agencements pour l'empilage. Un empilement régulier appelle 1 ou plusieurs (2 à 3) de ces domaines.
  Si la boîte est de dimension 0, c'est un quantum, et je vous oriente vers les rosaces de Planck.
  En dimension 1, c'est une corde.
  Mais, c'est une case en dimension 2. Cependant une distinction s'impose. Dans le cadre d'une vision plate, donc sans retournement de face à dos, la Case est un TAMPON. À l'inverse, en vision stéréoscopique, la case comporte bien 2 plans confondus : une face et un dos, la symétrie miroir est possible, c'est alors un JETON. Le Tampon imprime, soit les Moulures en 1D, soit les Tapisseries en 2D. Quant aux Jetons, ils s'étalent en Guirlandes pour la 1D, et en Verrières pour la 2D.
  Pour la 3D, la boîte est un conteneur.
  Enfin, en 4D, c'est un Univers.

La notion BOÎTE et FIGURE doit être bien défini, avant de poursuivre. La figure peut être soit le contenu, soit le conteneur. En particulier, la boîte enveloppante correspond à l'enveloppe minimale, en sommets, en arête droite et en surface plane, obtenue par morphogenèse du pourtour d'une figure, aboutit aux mêmes types d'empilements. En général, la figure se rapporte à une réalité ; elle a donc, systématiquement, une direction de lecture dépendante et des lois physiques et de l'apprentissage du lecteur. Si la figure se rapporte à un outil intellectuel ou à un processus, seul interviendra la culture du lecteur, et gardera donc, les mêmes directions de lecture, de même pour une figure purement esthétique.

La figure une fois placée dans sa boîte, est ancrée ; mais dans certains cas il existe plusieurs ancrages (nous le verrons plus tard). C'est pourquoi la figure de référence sera toujours orientée par rapport à la base de sa boîte. La BASE de toute boîte à empiler, est définit par notre direction de lecture principale. Or comme toute lecture d'empilement est une translation, on choisira pour départ, une des arêtes de la boîte. Et à l'opposé de cette base se trouvera, suivant la boîte, donc soit un sommet, soit une arête parallèle.

Cependant il faut distinguer dans les empilements réguliers, ceux d'une boîte invariante, de ceux d'un Nucléus invariant. Un Nucléus est proche d'un Quantum ou d'une Rosace. C'est l'arrangement de cases, toutes semblables (à une, ou à plusieurs : 2 ou 3) et qui, dans toutes les directions, s'empilent à l'identique.
Les opérations de symétrie, dites isométries, s'effectuent qu'au sein du Nucléus, s'en est le creuset, la (les) case est l'opérande. Les différents Nucléus, même réduits à une boîte, sont appelés mailles du réseau, en cristallographie.

L'empilement de Nucléus peut être non périodique et donc non invariant, comme dans les quasi-cristaux. Bien que cet empilement quasi régulier soit en relation avec des empilements invariants en dimension supérieure.
Pour les empilements linéaires, Augustin BRAVAIS et VON LAUE ont démontré l'existence de 7 types cristallins élémentaires. En 1984, se sont rajoutés, les quasi-cristaux. Tandis que le russe Yevgraf FYODOROV met en évidence 17 manières minimales de paver le plan. À partir de 1930, H. S. M. COXETER introduit la notion de zone fondamentale dans l'étude de ces types de symétries.

Sur les bases solides de ces grands mathématiciens, nous allons distingué deux visions distinctes pour aborder l'étude du circuit d'empilement. En effet, tout empilement peut être vu :
suivant deux points de vue :
  -) Soit de manière interne, à partir de la figure - boîte, ce sont alors des harmonies à la Truchet.
  -) Soit de manière externe, à partir du réseau d'empilement, ce sont alors des harmonies cristallines.

Le point de vue précisé, il est ensuite important d'en préciser le cadre et son milieu. Ainsi, le cadre, le plus global, pour les empilements réguliers, est l'Univers. C'est pourquoi, la boîte la plus appropriée, est le conteneur.
  Quant au milieu, il est en rapport non seulement avec le point de vue, mais en plus il apporte une précision sur l'objectif de l'étude.

Soit, pour exemple, les positions permises de la figure voisine ; dans une boîte identique en dimension (et non pas en échelle) au lieu d'empilement, ici en volume.
  Le point de vue et son encadrement définis, il faut cibler les trois axes de développement, avec leur hiérarchie de mutation et leur binarité interne ; en vue de dégager un Fleuve de 8 mailles. Alors, démarre la recherche du circuit d'empilement de conteneurs tous jumeaux, par leur troïka d'axe de mutation. Ici, nous avons les trois axes de longueur, largeur et profondeur pour l'empilement régulier en 3D.
  Cependant la dépendance du circuit est remarquable, non seulement à l'objet étudié et son comportement, mais aussi de la manière d'observer. En effet, un Européen lit de gauche à droite et de haut en bas, tandis qu'un observateur Chinois a un sens de lecture bien différent. D'où cette trinité des axes de mutation :

-) L'axe principal, c'est celui de la normalisation de l'ensemble. C’est-à-dire la définition d'un cas particulier à partir du quel, les autres cas peuvent être rapportés. Ici, dans le cadre d'empilement cubique, c'est la figure voisine qui peut être : soit RENVERSÉE ou inclinée en lecture, donc = (.,.,0) ; soit IDENTIQUE, c'est la référence, donc = (.,.,1).
    -) Une fois l'étude établie et normée, on s'intéresse à l'observation pour l'axe secondaire. Ici, si la figure voisine est vue de DOS, elle = (.,0,n) ; sinon elle est vue de FACE, et = (.,1,n).
    -) Enfin, le troisième axe présente la caractéristique principale de l'objet d'étude. C’est-à-dire , pour cet exemple en 3D, l'absence ou la présence d'une profondeur. Tel que (0,n,n) correspond à la boîte voisine VUE À PLAT , tandis que (1,n,n) est un des deux AXES, SUR LE CÔTÉ, de vue, du conteneur voisin. Nous avons, alors l'axe de vue de bas - haut, et l'axe de vue droite - gauche, dans la direction de lecture ; chacune formant une sous catégorie dans chaque (1,n,n), vue de côté du voisin.
Donc (1,0,n) correspond aux 2 axes VUES DE CÔTÉ du voisin (1,n,n), mais DE DOS (n,0,n) par rapport au sens de lecture ; d'où (100) pour vue de gauche ou de haut en incliner ; et (101) pour vue de gauche ou de haut en droite.
Et donc (1,1,n) correspond aux 2 axes VUES DE CÔTÉ du voisin (1,n,n), mais DE FACE (n,1,n) par rapport au sens de lecture ; d'où (110) pour vue de droite ou de bas, en incliner ; et (111) pour vue de droite ou de bas, en droite.

De cette 3D, passons aux empilements réguliers en 2D, soit ceux de jetons. Tout circuit de mutation est défini par sa triade. Aussi, qu'elle est, dans les empilements plats de surface, la triade mutagène ?

Un empilement de (et en) 2D régulier est, à partir d'une première positionnée (ou d'un ensemble de 2 à 3 figures différentes), une suite de figures identiques, mises côte à côte. Pour exemple, vous placez, la case : , en haut et à gauche de votre surface d'empilement. À chaque accolement, vous pouvez établir, sur la figure de la nouvelle case : , une transformation.
    Donc, l'axe principal, celui de la normalisation, ici comme dans le cadre d'empilement cubique, correspond à la figure voisine en position : soit RENVERSÉE ou couchée, donc = (.,.,0) ; soit IDENTIQUE, c'est la référence, = (.,.,1).

C'est (000), si vous pouvez arranger la case: en vue de dos : (condition de support) par un 1/2 tour central en : , pour vous permettre de créer, avec un nucléus vertical, cet empilement plat, régulier : .
  Sinon, c'est (001), si vous réalisez juste une translation à la verticale de la figure en vue de dos : : , il n'y a pas d'inclinaison.
    D'où la BIPOLARITÉ de ce circuit. Soit avec l'arrangement en inclinaison de la case suivante, par rapport à la case d'origine (nota, ce peut être, aussi, + ou - 1/4 de tour, voir 1/3 de tour), elle sera noté (x,x,0). Ou soit uniquement avec des arrangements sans inclinaison, elle sera noté (x,x,1), ce qui esquisse le 1^er type d'axe de transformation de la case parente.

L'étude normée, on s'intéresse à l'OBSERVATION pour l'axe secondaire. C'est ici, comme dans le cas d'empilement cubique, où soit la figure voisine est vue de DOS, elle = (.,0,n) et noté (x,0,x) ; sinon elle est vue de FACE, elle = (.,1,n) et noté (x,1,x) .

Donc, c'est (010), si vous pouvez arranger la case: , vue de face, par un 1/2 tour central, en : ; pour vous permettre de créer, avec un nucléus vertical, cet empilement plat, régulier : .
  Sinon, c'est (011), si vous réalisez juste une translation de la figure en vue de face : , à la verticale : , il n'y a pas d'inclinaison.

Enfin, pour les arrangements notés suivants (1,x,x) ou (0,x,x), ils concernent le troisième axe, à la CARACTÉRISTIQUE principale de l'objet d'étude. C’est-à-dire , pour cet exemple en 2D, non plus la profondeur mais les axes du plan ; tel que (0,n,n) correspond à l'axe secondaire de la surface à paver, donc l'AXE VERTICAL ; tandis que (1,n,n) est l'axe principal de lecture, donc l'AXE HORIZONTAL.

Donc, c'est (100), si vous pouvez arranger la case: en vue de dos : , par un 1/2 tour central, en : ; mais avec un nucléus HORIZONTAL, pour vous permettre de créer, cet empilement plat, régulier : .
  Sinon, c'est (101), si vous réalisez juste une translation de la figure en vue de dos : , à l'horizontal : , il n'y a pas d'inclinaison.
    Et, c'est (110), si vous pouvez arranger la case: , vue de face, par un 1/2 tour central, en : ; pour vous permettre de créer, avec un nucléus horizontal, cet empilement plat, régulier : .
  Sinon, c'est (111), si vous réalisez juste une translation de la figure en vue de face : , à la verticale : , il n'y a pas d'inclinaison.

Cette triade définie, nous pouvons déterminer les mailles du circuit, à la Truchet, d'empilement plat régulier avec un nucléus binaire. Avec par exemple, le jeton (transparent) nous disposons des arrangements suivants :

Pour (0,0,0) des et des ; soit : avec un nucléus vertical, en p1m .

Pour (0,0,1) des et des ; soit : avec un nucléus vertical, en p1g .

Pour (0,1,0) des et des ; soit : avec un nucléus vertical, en p2 .

Pour (0,1,1) que des en vertical, dit : en p1, le .
 

Pour (1,0,0) des et des ; soit : avec un nucléus horizontal, en p1g .

Pour (1,0,1) des et des ; soit : avec un nucléus horizontal, en p1m .

Pour (1,1,0) des et des ; soit : avec un nucléus horizontal, en p2 .

Pour (1,1,1) que des en horizontal, en p1, le .

  On constate que (011) et (111) donne le même pavage, car ils ne concernent qu'une mise côte à côte de deux mêmes jetons. Et comme celui-ci est réduit à un plan ( : deux plans confondus, la face et le dos, sans épaisseur) et non pas étendu en volume ; le circuit est imparfait.
  Les pavages peuvent résulter, aussi de la combinaison de plusieurs mailles sur un jeton (opérations d'addition) ou sur un nucléus (opérations de multiplication). Seuls les nucléus à 3 cases sont l'addition, que de mailles en (0,n,n), ou sinon en (1,n,n).
(Ainsi les opérations de mailles d'empilement à la Truchet, comprend bien l'élément neutre d'une addition avec la boîte vide et pour une multiplication le tampon référant, ici le .)

Pour les arrangements notés selon leurs présences ou leurs absences, nous nous plaçons sur un autre point de vue, que celui de nos prestigieux mathématiciens. En cristallographie, on s'intéresse prioritairement aux types d'isométrie, pour aboutir à 7 frises ; totalement justifié par les mathématiciens et physiciens (cependant un circuit de maille devrait les sous-tendre). Tandis qu'ici l'on ne parle pas d'isométrie par rapport au pavage, mais bien d'arrangement d'une case positionnée sur une origine.

Si vous réduisez ces mailles à des frises ; dans chaque maille : pour un nucléus horizontal ou vertical, vous ne retenez que la translation horizontale. Donc, vous vous retrouvez avec 8 mailles de frises à la Truchet.

Sous le règne du Roi-Soleil, pour les pavages réguliers du plan, le premier à proposer une case, c'est le dominicain Sébastien TRUCHET, sous forme d'un carreau bicolore par la diagonale. Ce qui revient à utiliser la figure du chiffre six, comme ici.
Plus récemment Cyril SMITH a créé un carreau composé d'un motif en triangulation et reproduit en symétrie miroir diagonale. Ce qui réduit l'arrangement de 4 types à une binarité. C'est similaire à l'utilisation de deux fois la case en triangle rectangle isocèle. Car tout parallélogramme est la combinaison de deux triangulations, placées en miroir par leur base ; soit un parallélogramme bicolore en séparation diagonale.

Hervé LEHNING dans la revue "Tangente N°99", présente les 8 motifs de 2 colonnes et 2 lignes (un nucléus) du carreau de Truchet. Avec la case où figure un 6, nous avons dévoilé le circuit d'arrangement à la Truchet. Si vous passez la souris sur une de ces figures, vous aurez la notation cristalline, pour vous permettre le parallélisme avec les isométries en cristallographie ; qui elle aussi, cache un circuit.

La différence entre les empilements à la Truchet et les autres, cristallins ; sont, pour les Truchet, des modes opératoires d'empilement par rapport à la boîte de référence.

Tandis que les empilements cristallins sont des opérations de symétries d'un empilement de base (d'une ou plusieurs boîtes). Ainsi, non seulement elles deviennent indépendantes du lecteur, mais en plus, elles permettent d'encapsuler un type dans l'autre.
Rien de tel, que l'étude des pavages cristallins plats pour exemple.

Déterminer le circuit, pour les empilements linéaires à la Tuchet, est très facile ; puisqu'une binarité et sa trilogie sont facilement distinguables.

Tandis qu'en cristallographie, nous avons des encapsulés sur un réseau, au sein duquel peut se cacher pour une même maille du circuit, plusieurs cristallisations typiques.

Avant de nommer les mailles des 17 pavages du plan, il faut uniformiser l'étude. Seuls trois types de cases existent pour les pavages monotones de surfaces. Ce sont les formes triangulaires, quadrilatères et hexagonales.
La case hexagonale est donc celle qui présente le plus de côté et de sommets ; sauf que certains pavages, en particulier à rotation en angle droit (90°), excluent apparemment les cases présentant une symétrie de 60°, donc les cases optimales en hexagones.

C'est vrai que si la figure est liée à la case. Mais dans une case hexagonale, une même figure indépendante (centrée et en triangulation), en plus du couple face-dos, peut être positionnée par orthogonalité, donc avec une rotation d'angle droit. Bien que dans ce cadre nous aurions deux jetons distincts, il n'y aurait qu'une seule et même figure dans l'hexagone.
Soit une rotation carrée, à angle droit, de , en .

Ceci permet de ramener les 17 pavages du plan sur un même carrelet d'hexagones. La déformation de ce dernier aboutit aux différents damiers.
Ainsi, dans la présentation du circuit de 17 pavages, nous allons utiliser pour tous, la même case primaire hexagonale, avec une figure libre, centrée et de triangulation, positionnée ainsi :

  de face , de dos ,
orthogonale face et orthogonale dos .

À partir du réseau plan d'empilement, les harmonies cristallines, se répartissent suivant les axes de translation, de trois manières.
Par Rotation de la figure ; par symétrie en Miroir ; par symétrie Glissée. Soit la répartition des mailles en (G,M,R).

L'axe fondateur, parmi la troïka mutagène du circuit de cristallisation, est la ROTATION de la figure dans La case adjacente à l'un des axes de translation. S'il n'y a pas de rotation dans le réseau plan d'empilement, alors la maille = (.,.,0) ; dans le cas contraire la maille = (.,.,1).

Lorsque les deux autres opérations ne sont pas nécessaires, on aboutit alors à :

Pour la maille 000) à un seul type de pavage, en CRISTAUX D'ANALOGIE
-) les cristallisations en P1 : .

Et pour la maille 001) aux QUATRE ROTATIONS CRISTALLINES,
-) les cristallisations en P2 : , les cristallisations en P4 : , les cristallisations en P3 : , et les cristallisations en P6 : .

Le second axe du circuit de cristallisation est la mise en MIROIR de la figure, c’est-à-dire le retournement face dos de celle-ci perpendiculairement à l'axe de translation principal.

S'il n'y a pas de miroir dans le réseau plan d'empilement, alors la maille = (.,0,.) ; dans le cas contraire la maille = (.,1,.), on aboutit alors pour ce dernier cas (et sans le troisième axe) à :

Pour la maille 010) à un seul type de pavage, en 3 CRISTAUX MIROIRS
-) les cristallisations en Pm : , les cristallisations en Pmm : , et les cristallisations en P3m1 : .

Et pour la maille 011) aux 3 ROTATIONS et MIROIRS CRISTALLINS,
-) les cristallisations en P4m : , les cristallisations en P31m : , et les cristallisations en P6m : .

Le dernier axe du circuit de cristallisation est la mise en GLISSAGE de la figure, c’est-à-dire le retournement facedos de celle-ci, non plus perpendiculairement, mais dans l'axe principal de translation.
Plus précis, là où le Miroir permet d'obtenir le derrière de la figure, le Glissage permet d'obtenir sa figure chirale (énantiomorphe).

S'il n'y a pas de glissade dans le réseau plan d'empilement, alors la maille = (0,.,.) ; dans le cas contraire la maille = (1,.,.), on aboutit alors pour ce dernier cas à :

Pour la maille 100) à un seul type de pavage, en CRISTAUX GLISSANTS
-) les cristallisations en Pg : .

Et pour la maille 101) à un seul type de pavage, en ROTATIONS et GLISSAGES CRISTALLINS
-) les cristallisations en Pgg : .

Pour la maille 110) à un seul type de pavage, en MIROIRS et GLISSAGES CRISTALLINS
-) les cristallisations en Cm : .

Et pour la maille 111) aux 3 ROTATIONS et MIROIRS et GLISSAGES CRISTALLINS,
-) les cristallisations en Pmg : , les cristallisations en Cmm : , et les cristallisations en P4g : .

Les 17 types de pavages répartis en 8 mailles du circuit de cristallisation doit nous rappeler, les 17 quadriques que nous avons répartis aussi en un circuit dans une page de la "MATRICE".

Quant aux 7 frises du plan, elles forment un circuit incomplet car elles sont une dégénérescence des 17 types de pavages du plan.

Pourquoi ce pavé normatif ?
Platon dans la Timée, démontre que tous ses solides et figures régulières sont la composition d'un couple de triangle rectangle duaux. Lorsqu'ils reposent, côte à côte et sur l'un des côtés de l'angle droit ; l'un est lévogyre, c’est-à-dire l'angle opposé à l'angle droit, est à gauche du lecteur ; l'autre est dextrogyre, c’est-à-dire l'angle en opposition de l'angle droit, est à droite du lecteur. Ceci résulte que la triangulation de toutes surfaces, est décomposable en deux triangles rectangles duaux : .

La case de pavage présentant la plus grande étendue pour des côtés de longueur minimale (longueur de Planck), est l'hexagone. Cet (et tout) hexagone est bien la composition de 6 couples duales (mais ici, de proportion identique) de triangles rectangles : .
C'est pourquoi, toute figure qui triangule la case normative de pavage (= hexagone), doit donc être ramenable à un trio de triangles duaux, pour définir les oppositions de bords de tout hexagone : .

Ce chapitre m'a permis, dans une page du premier livre, de mieux définir géométriquement les nucléons atomiques .

Si, à partir du pavé normatif, nous réduisons à un seul axe d'empilement les 8 familles de cristallisation (soit 1 seule translation linéaire), alors nous obtenons les 7 frises, plus une nouvelle apportée par la rotation à angle droit de la figure tertiaire dans son hexagone.
Cependant, nous constatons que ces 8 frises se regroupent en un circuit incomplet.
En effet, seules les familles : 000), 001), 010), 100) et 111) conduisent à des frises ; les 3 restantes aboutissent à plusieurs frises différentes suivant l'axe de translation (frises vue dans les autres familles de cristallisation). À part 111) qui conduit à plusieurs frises mais de même architecture, les 3 excluent sont issues de la combinaison de deux opérations d'empilements.

Pour la famille 000) nous n'obtenons que des f1 : .
Pour la famille 001) nous obtenons des f2 : , mais aussi la nouvelle construction de frise, propre au pavé normatif, que je baptise les f22 : .
    Pour la famille 010) nous obtenons des fm : , mais aussi des fmm : , et des f4 : .
    Pour la famille 100) nous n'obtenons que des fg :
    Enfin pour la famille 111) nous n'obtenons que des fm2 : .

À l'opposé, si dans les 8 familles de cristallisation, au lieu de réduire les différents types de pavages à une frise type, nous les empilons localement dans l'hexagone, nous retrouvons dans ce cas les 8 mêmes familles en cristallisation locale, ponctuelle, dit quantique. Dans ce cadre, ce sont les figures tertiaires qui sont empilées les unes sur les autres dans la même boîte hexagonalle ; surtout si prédominent le triangle rectangle solitaire par rapport à ses cousines jumelles, lorsqu'elles sont l'une au dessus de l'autre dans cet hexagone quantique. Nous retrouvons les mêmes 17 types de pavages (mais localement) répartis en un circuit de 8 mailles de cristallisation.
    Mais alors semble apparaître un deuxième circuit basé sur le nombre de triangle rectangle dominant. Sauf que la famille des 10) n'appartient à aucun des 17 pavages cristallins. Celui-ci serait-il la source des pavages semi réguliers ou sinon un cas spécifique au pavage quantique cristallin ?

Soit,
les 1) issues de P1 : ;

les 2) issues de P2 : , issues de Pm : , et issues de Pg : ;

les 3) issues de P3 : ;

les 4) issues de Pmm : , issues de Pgg : , issues de P4 : , et issues de Cm : ;

les 6) issues de P6 : , issues de P3m1 : , issues de P31m : , et issues de Pmg : ;

les 8) issues de P4m : , issues de P4g : , et issues de Cmm : , (ou ? : ) ;

(les 10) issues de ??? : ; )

et les 12) issues de P6m :

Un hexagone de Planck comprend 6 secteurs de placement. Chaque secteur part d'un des côtés de l'hexagone et tous se répartissent autour du centre de l'hexagone.
I est bon de se pencher sur toutes les configurations d'occupation des secteurs. Chacune de ces configurations donne une rosace en hexagone. Une rosace, ici, est juste un pavage circulaire fermé ; beaucoup plus simple que les rosaces, étudiées par Leonard de Vinci, qui ornent nos cathédrales.
En opposant les rosaces d'hexagones, par leur complémentarité en occupation de secteur, nous dévoilons deux groupes de huit rosaces. Chaque groupe de rosaces peut être perçu en un circuit ; ce qui nous révèle leur seule richesse, les 8 couples complémentaires. Et en particulier, le seul couple chiral, avec les 101, le Gauche et le Droit.
Ce couple chiral (les 101, G et D) est un des trois couples configurés avec seulement trois secteurs occupés (100, 101, 110). Pour ces derniers, distinguons-les alors, en trois architectures de placement ternaire.

Seuls trois modèles différents de cases peuvent paver uniformément le plan. Ce sont les trois polygones de Platon. L'un est le triangle équilatéral, l'autre le carré, et le dernier, c'est l'hexagone équilatéral. Bien sûr si vous étirez ces 3 pavages, vous enlevez l'uniformité des angles et des côtés de la case pavant ; mais cela reste un pavage de Platon, mais par transformation.
Maintenant plaçons la figure de triangulation , trouvée précédemment, au sein des trois modèles de case . Cette figure nous permet de lier les trois pavés de Platon à une source commune de triangulation. En revanche, lors du passage d'un pavé à l'autre, on constate une évolution dans la figure de triangulation ; ainsi que l'existence de plusieurs générations de figures de triangulation. En effet : -) dans le triangle la figure de triangulation existe sous deux formes duales, correspondant à 1/6 de tour de l'axe de la figure mère, soit et ; -) dans le quadrilatère elle existe aussi sous deux formes distinctes, mais cette fois-ci avec 1/4 de tour de son axe, soit et ; -) dans l'hexagone, en apothéose, nous retrouvons les deux duaux précédents, pour un total de quatre formes distinctes, soit , ou , et soit , ou .
Ces 8 figures sont énantiomorphes. Des figures sont énantiomorphes, lorsque leurs transformées spatiales ne peuvent pas se superposées, tels les silhouettes d'une main gauche et d'une main droite. Ainsi, un polygone peut être décomposé avec l'opération de deux triangles rectangles énantiomorphes, qui dans ce cas sont duaux ; revoir dans - Le pavé normatif.

Ces huit mailles composent sûrement un circuit en physique quantique. D'où le tableau des 8 quantiques de Platon suivant :

Ce sont Raoul RABA et André DELEDICQ (dans : le monde des pavages, aux : ACL - les Éditions du Kangourou,) qui nomment les pavages réguliers, pavages de Platon, et surtout les pavages semi-réguliers en pavages d'Archimède.

Si au lieu d'utiliser la même case, vous utiliser un jeu de cases polygonales équilatérales et différentes, alors vous ne remplissez le plan qu'avec huit jeux différents, les diamants d'Archimède. Ces 8 mosaïques, comme les 3 de Platon, sont notées par le mathématicien SCHLÄFLI, suivant la nature de chaque pavé partageant un même sommet, quel que soit le sommet. C'est-à-dire par le nombre de côté de chaque polygone. Ainsi un pavage de Platon réalisé avec des cubes va se noter (4,4,4,4.) ; soit 4 pour carré et répété quatre fois, car chaque sommet est le nœud de quatre polygones.

À défaut de trouver la triade qui validerait ces 8 jeux d'Archimède en un circuit Fleuve, je vous propose d'en trouver sa hiérarchie et ses couples.
Nous les ordonnons, grâce à la notation de Schläfli, des plus aux moins nombreux, soit trois (n,n,n,n,n) que je note (x⁵), puis deux (x⁴), et trois (x³). Ensuite, la filiation, dans les couples et, des couples voisins, est déterminée par le degré minimal de mutation nécessaire pour transformer l'un en son compagnon.

Parmi les (x⁵) seuls ceux qui sont composés avec des triangles (3) et des carrés (4) forment le premier couple.
Le premier, du fait d'être le 000) doit avoir une propriété qui ne rentre pas dans le cadre d'Archimède, c'est l'arrangement (3,3,3,4,4), car le seul que H. S. M. COXETER ne peut générer avec ses graphes miroirs, il n'a que des symétries ponctuelles.
Aussi, le 001) c'est son cousin le (3,3,4,3,4). D'autant plus que ce couple de (3) et de (4) sont les seuls parmi ces 8 marqueteries, à s'enrouler en cylindre de flambage. Voir : "les pavages et origami" de Ian STEWART, dans la revue "Pour la Science", dossier N° 47, d'avril - juin 2005.
Le deuxième couple est alors constitué en premier, soit le 010), du (x⁵) restant, c'est le (3,3,3,3,6).
Auquel se rajoute, le 011), le seul des deux (x⁴) à n'avoir que des triangles (3) et des losanges (6), soit (3,6,3,6) ; pour donner ce deuxième couple aux (3) et (6).

Les quatre derniers sont particuliers, en effet apparaissent des polygones réguliers autres que les trois de Platon ( : le 3, le 4 et le 6). Ces polygones sont en réalités des rosaces d'Archimède car composé avec des (3), (4), (6). Tels des diamants ils consolident ces 4 dernières parures, et tel des rosaces ils aèrent et allègent ses 4 murs. Donc le troisième couple va inclure en premier, le 100), la source des rosaces qui est le (x⁴) restant, soit le (3,4,6,4).
Parmi les trois (x³), le 101) va être celui dont sa rosace rappelle la mosaïque du 100), c'est le (4,6,12).
Le dernier couple inclut, donc les deux (x³) restant. Le 110) doit être proche du 101), donc comme lui avoir une rosace à 12 cotés, c'est donc le (3,12,12).
Quant au dernier (x³), le 111), il doit être proche du 000), pour permettre le bouclage du circuit, ce qui est le cas pour le (4,8,8). En aparté, cette proximité et son opposition avec l'arrangement, mis en cylindre, le plus résistant à la pression (flambage), me permettent de supposer l'inverse pour (4,8,8), soit une résistance maximale à la traction qui pourrait être utilisée en nanotube ; de plus enchâssé dans un nanotube d'arrangement en (3,3,3,4,4), il devrait aboutir à des nanocylindres hyper-rectilignes dignes de nanocanons à fermions.

Maintenant remplacez chaque figure, de chaque empilement différent, par une couleur ; par exemple blanc pour le , rouge pour le , vert pour le , et bleu pour le . Vous constaterez, la nécessité d'éliminer toutes les harmonies planes dont les mêmes arrangements se côtoient ; par exemple deux rouges côte à côte ne vous permettent plus de distinguer la séparation des 2 cases. C'est lié au théorème des 4 couleurs dans le plan.
(Vu que le plan peut être normé à l'aide de deux droites distinctes, toutes zones peuvent être ramenées à un maximum de deux triangulations, chacune ayant une base sur une droite de normalisation différente ; d'où la réduction à 4 bases maximales pour les tampons à bi triangulations d'opposés ; sinon un multiple de 3 pour les tampons à mono triangulation.)

Une fois sélectionner les différents nucléus non continus, alors telle une partition musicale, votre inspiration artistique pourra créer des rosaces, guirlandes et cloisons, chatoyantes. D'autant plus si vous attribuez aux nucléus vide (élément neutre de l'addition des mailles) une durée silencieuse (due à la continuité de la couleur en p1) harmonique, et aux autres une hauteur de note spécifique, vous pourrez figurer le chatoiement des grandes œuvres musicales, et enluminer de l'ambiance musicale le lieu et tous habits. Peintres, couturiers, architectes,... que de belles œuvres en perspective !

Au delà de l'empilement en métronome monotone ; l'agencement des différentes fleurs d'hexagones en choral d'harmonie, apporte autant de plaisir visuel que l'écoute de la symphonie associée. Ces champs d'hexagones aux pétales multimodales ( : du silence, à la note si) sont un renouveau pour l'art contemporain ; aussi digne que les vitraux de nos cathédrales.
Et pour y adjoindre une note de fantaisie, je vous recommande l'ouvrage "Parcelles d'infini" d'Alain Nicolas aux éditions BELIN, afin de rajouter des gammes de textures aux 8 notes de fleurs (soupirs compris). En plus, il apporte une vision nouvelle avec ses 11 canevas et ses 6 groupes de motifs ; ils illustrent les 17 manières minimales de paver le plan mis en évidence par le russe Yevgraf FYODOROV ; ces 17 symétries sont à rapprocher des 17 Quadriques qui sont aussi positionnés en un circuit de 8 mailles.

Ces nouveaux vitraux s'architecturent en parterre de fleurs ; soit pour la première ligne, liée à la partition, et les autres décalées en canon ; soit chaque ligne représente un instrument ou voie de l'orchestration, donc une texture de fleurs, avec la couleur et la clarté comme hauteur de notes.
Mon rêve est alors que la rotonde d'un futur parlement mondial, soit ceinte par la représentation en vitrail de fleurs, de "Dieu que ma joie demeure" de J. S. Bach.
En attendant d'aborder d'autres empilages ; observons un cas d'école pour le circuit, notre système solaire.

De Circum HUTI, le 20/10/2011le 11/12/2009, mdf le 2010-03-23.

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